Tutti i piani di produzione che un’impresa può scegliere si trovano nell’insieme di produzione, rappresentato dalla funzione di produzione che, a partire dagli input, dà il massimo livello di output y possibile:
y = f(x1,x2)
La funzione di produzione è rappresentata da curve di livello dette isoquanti, sui quali si trovano tutti quegli input tali che la produzione sia la stessa.
La loro pendenza è il saggio marginale tecnico di sostituzione, ossia il rapporto tra i prodotti marginali dei due input, che si ricavano calcolando la derivata parziale della funzione di costo rispetto a x1 e rispetto a x2.
La scala di produzione rappresenta la dimensione alla quale la produzione viene eseguita; per cambiare scala occorre moltiplicare gli input per una costante t > 0 (se t>1 stiamo apmliando la scala, altrimenti, se t <1 la stiamo contraendo); per vedere cosa succede di contro alla produzione y dobbiamo considerare i rendimenti di scala.
Solo se i rendimenti di scala sono decrescenti, ossia se l’output y aumenta meno che proporzionalmente rispetto all’aumento degli input, sarà possibile un profitto positivo; infatti, se così non fosse, basterebbe aumentare gli input per aumentare il profitto stesso; è quindi necessario che la funzione di produzione sia concava, ossia abbia la concavità rivolta verso il basso.
Inoltre il profitto marginale, che indica di quanto aumenta il profitto all’aumentare degli input, deve essere nullo per lo stesso motivo per cui i rendimenti di scala devono essere decrescenti: se così non fosse aumentando gli input aumenterebbe il profitto e dunque non si arriverebbe mai al profitto massimo.
Graficamente il punto di ottimo è quello in cui l’isoprofitto più alto tange la funzione di produzione; la tangenza si ha quando isoprofitto e isoquanto hanno la stessa pendenza; dobbiamo dunque capire qual è la pendenza degli isoprofitti: considerando che essi contengono tutti le quantità di ricavi e costi che danno lo stesso profitto π, la loro equazione è:
py – wx = π
py = π + wx
y = π/p + w/p x
La pendenza degli isoprofitti è dunque w/p; la nostra condizione di ottimo è dunque che
ƒ’ (x) = w/p
Sfrutteremo questa condizione di ottimo per risolvere il problema analiticamente:
Grafico, metodo di sostituzione diretta e di Lagrange per massimizzare il profitto