VETTORI
Vettore a n componenti: è una n-pla ordinata di numeri reali.
Ordinata: non esiste un legame tra gli elementi, non sono importanti per il loro valore ma per la loro posizione.
N-pla: qualsiasi gruppo insieme finito di n elementi; insieme di n componenti.
Due vettori saranno considerati diversi quando, seppur contenendo lo stesso numero e gli stessi elementi, li contengono in maniera diversa.
Tutti I vettori aventi lo stesso numero di componenti sono contenuti in un insieme denominato spazio vettoriale di dimensione n, dove n è il numero di componenti.
SOMMA TRA DUE VETTORI a e b app. A Sn
l’operazione ha come risultato un nuovo vettore di Sn (lo stesso spazio vettoriale di a e di b) che si ottiene sommando le componenti che occupano la medesima posizione.
PRODOTTO dato @app. R e a app. Sn
l’operazione ha come risultato un nuovo vettore, sempre appartenente a Sn, (lo stesso di a) ottenuto moltiplicando per lo scalare @ ogni singola componente del vettore dato a.
COMBINAZIONE LINEARE TRA I VETTORI
Dati p vettori tutti appartenenti a Sn e dati p scalari (p=numero finito) si definisce combinazione lineare dei p vettori mediante p scalari (coefficienti) un nuovo vettore appartenente a Sn eseguendo le operazioni di prodotto di uno scalare per un vettore e successivamente la somma dei risultati.
La combinazione lineare include la somma di due vettori moltiplicati per coefficienti pari a 1 e anche la somma di due vettori moltiplicati per coefficienti pari a 1 e -1.
Dati p vettori app. A Sn, preso un vettore b app. A Sn è possibile stabilire se dipende linearmente dagli altri.
B dipende linearmente da a1,a2,a3,…an se b è esprimibile come combinazione lineare di essi.
Se sono in grado di trovare degli scalari @1,@2,….,@p, tali che, moltiplicati ai vettori dati, danno risultato b.
in un insieme di vettori linearmente dipendenti è possibile che esista un sottoinsieme di vettori linearmente indipendenti.
RANGO
Dato un insieme di m vettori a1,a2,…am si definisce rango di questo insieme il massimo minore di vettori linearmente indipendenti estraibile dal suddetto insieme dato.
In un insieme di vettori Sn il rango può essere al massimo n.
TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA LINEARE
In uno spazio vettoriale Sn ci sono al massimo n-pla di vettori linearmente indipendenti.
MATRICE
Tabella composta da n x m numeri reali disposti ordinatamente lungo n righe ed m colonne. La matrice si indica con la lettera maiuscola A, indicando sotto il numero di righe e il numero di colonne; se n è diverso da m la matrice si dice rettangolare; se n è uguale a m la matrice si dice quadrata di ordine n, e la m viene rimpiazzata da un’altra n.
DIAGONALE PRINCIPALE
L’insieme di numeri reali aventi stesso numero di riga e di colonna.
CASI PARTICOLARI DI MATRICI RETTANGOLARI
Se ho una sola riga, degenera in vettore riga → 1xm
se ho una sola colonna, degenera in vettore colonna; → nx1
una qualsiasi matrice può essere decomposta in tanti vettori quante sono le sue righe e le sue colonne, dal momento in cui quest’ultima può essere considerata un insieme di vettori.
MATRICE TRASPOSTA di A
ottenuta scambiando il numero di riga delle sue componenti con il numero di colonna degli stessi.
DETERMINANTE
Data una qualsiasi matrice quadrata le è possibile associare un ben preciso numero reale chiamato determinante.
NOTA BENE: non esiste un determinante di una matrice rettangolare.
Il determinante si indica con detA.
Data A (nxn) una matrice quadrata e dato un elemento della matrice aij (con I e j numeri qualsiasi) si chiama MINORE COMPLEMENTARE Aij il determinante ottenuto dalla matrice quadrata A eliminando la I-esima riga e la j-esima colonna
Si chiama COMPLEMETO ALGEBRICO A”ij di aij il minore complementare se i+j=pari, cambiato di segno se i+j=dispari.
Più in generale
detA= sommatoria per j che va da 1 a n di aij (-1) elevato a 1+j Aij = METODO DI LAPLACE
il calcolo può essere effettuato rispetto ad una qualsiasi riga o ad una qualsiasi colonna
oss: il detA = detA trasposta
Il determinante di una matrice che contiene anche solo una riga o una colonna di elementi nulli è anch’esso nullo.
Il determinante di una matrice che contiene almeno una riga o una colonna combinazione lineare di altre è nullo.
Da una qualsiasi matrice possono essere estratti dei minori di ordine k ———→
il determinante di ogni matrice quadrata estraibile dalla matrice data prendendo k righe e k colonne nell’ordine in cui appaiono in tutti I modi possibili.
Per calcolare quanti minori si possono estrarre: → n!/ k!(n-k!)
CARATTERISTICA DI UNA MATRICE A
PA= il massimo ordine di minore non nullo estraibile da detta matrice (sarà zero se e solo se tutti gli elementi della matrice sono nulli )
RICORDA: 1<Pa<min(n,m) se e solo se esiste un minore di ordine Pa diverso da zero e tutti gli altri di ordine superiore, se esistenti, sono nulli.
Dire che la caratteristica della matrice è Pa significa dire che è possibile individuare (estrarre da essa) gruppi di Pa vettori linearmente indipendenti, mentre I rimanenti sono dipendenti dagli altri.
Se esiste almeno un vettore riga o un vettore colonna dipendente dagli altri, gli n vettori riga o m vettori colonna, sono linearmente dipendenti tra loro.
Determinante= numero reale
Caratteristica=numero naturale
Pa determina numericamente il rango dei vettori riepilogati nella matrice o lungo le righe o lungo le colonne.
La caratteristica di una matrice A è coincidente alla caratteristica della sua trasposta.
SISTEMA DI n EQUAZIONI LINEARI IN m INCOGNITE
Ciascun membro contiene una solo incognita di grado 1.
passaggi da fare:
1. riordinare il sistema portando al secondo membro I termini noti b e al primo membro I termini contenenti le incognite;
2. mettere nello stesso ordine I termini contenenti la medesima incognita, accompagnando con coefficiente nullo I termini contenenti l’incognita che non appare esplicitamente in in qualche equazione;
3. verificare che si tratti di sistema di equazioni lineari (cioè che tutte le equazioni del sistema siano lineari).
RISOLVERE UN SISTEMA vuol dire trovare n-ple (gruppi) di valori che, sostituiti alle incognite, verificano simultaneamente tutte le equazioni.
Esiste una soluzione se il vettore dei termini noti è espressibile come combinazione lineare dei vettori dei coefficienti → se b è linearmente dipendente dagli altri.
TEOREMA DI ROUCHÈ-CAPELLI
Condizione necessaria e sufficiente affiché un sistema di n equazioni in m incognite ammetta soluzione è che la caratteristica della matrice incompleta coincida con quella della matrice completa.
Se le due caratteristiche sono diverse allora il sistema è incompatibile;
se sono uguali il sistema è compatibile → esiste almeno una n-pla di valori che lo soddisfano
due tipi di sistemi compatibili:
1. SISTEMI NORMALI: Pinc = n in uno spazio vettoriale Sn ci sono al massimo n vettori indipendenti quindi aggiungendo b questo sarà per forza linearmente dipendente.
2. SISTEMI OMOGENEI: b=0 esisterà sempre una n-pla che risolve il sistema, almeno la soluzione banale, cioè attrinuire 0 a tutte le incognite.
Se il sistema è compatibile si chiama genericamente P la caratteristica comune e se questa coincide con il numero di incognite (m) il sistema ammetterà una sola soluzione (sistema determinato); se P Se P=m → non ci sono equazioni eliminabili e si applica direttamenre Cramer.
Se P
REGOLA DI CRAMER
si sostituisce al minore principale la colonna che accompagna I termini che accompagnano l’incognita interessata con la colonna dei termini noti
xk= delta k/ delta , dove delta k= minore ottenuto dal minore principale sostituendo alla k-esima colonna la colonna dei termini noti.